题目内容
16．如图1，直线AD对应的函数关系式为y=-2x-2，与抛物线交于点A（在x轴上），点D．抛物线与x轴另一交点为B（3，0），抛物线与y轴交点C（0，-6）．（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，连结CD，过点D作x轴的垂线，垂足为点E，直线AD与y轴交点为F，若点P由点D出发以每秒1个单位的速度沿DE边向点E移动，1秒后点Q也由点D出发以每秒3个单位的速度沿DC，CO，OE边向点E移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点P的移动时间为t秒，当PQ⊥DF时，求t的值；
（3）如图3，点M是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点N，使A、D、M、N这四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出所有满足条件的N点坐标；如果不存在，请说明理由．
分析 （1）求出点A坐标，把A、B、C三点代入抛物线解析式解方程组即可．
（2）分三种情形讨论①当Q点在CD上时②点Q在CO上时③点Q在OE上时，利用相似三角形的性质路程方程求出t，并且判断是否符合题意即可．
（3）如图4中有四种情形，分别根据平行四边形的性质或利用一次函数的性质解决．
解答 解：（1）令y=0，则-2x-2=0，解得x=-1，所以点A坐标（-1，0），
设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
∵A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-6）在抛物线上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{9a+3b+c+0}\\{c=-6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-4}\\{c=-6}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=2x2-4x-6．
（2）y=2x-2，令x=0，y=-2，∴F（0，-2），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x-2}\\{y=2{x}^{2}-4x-6}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.\\;或\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-6}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-6}\end{array}\right.$，
∴点D坐标（2，-6）．∵点C（0，-6），
∴CD⊥CF，
∴∠DCF=90°，
由题意：P点移动的路程为DP=t，Q点移动的路程为3（t-1）=3t-3，
当Q点在CD上时，即0＜3t-3≤2时，1＜t≤$\frac{5}{3}$时，
如图1中，若PQ⊥DF，则有RT△QDP∽RT△FCD，
∴$\frac{PD}{QD}$=$\frac{CD}{CF}$，即$\frac{t}{3t-3}$=$\frac{1}{2}$，
∴t=3，3＞$\frac{5}{3}$，
∴此时t不合题意．
当点Q在CO上时，2＜3t-3≤8，$\frac{5}{3}$＜t≤$\frac{11}{3}$时，如图2中，过点P作PK⊥OC于K，
∴CK=PD=t，CQ=3（t-1）-2=3t-5，
若PQ⊥DF，则有RT△PKQ∽RT△FCD，
∴$\frac{QK}{PK}=\frac{CD}{CF}$，即$\frac{-2t+5}{2}$=$\frac{2}{4}$，
∴t=2，∵$\frac{5}{3}$＜t≤$\frac{11}{3}$，
∴t=2符合题意．
当点Q在OE上时，即8≤3t-3≤10，$\frac{11}{3}$≤t≤$\frac{13}{3}$时，如图3中，
若PQ⊥DF，过点Q作QG∥DF交DE于G，则QG⊥QP，即∠GQP=90°，
∴∠QPE＞90°，这与△QPE内角和为180°矛盾，此时PQ不与DF垂直，
综上所述：当t=2时，有PQ⊥DF．
（3）如图4中，
①当M1N1∥AD，AN1∥DM1时，AN1=DM1=2，此时N1坐标（-3，0），
②当AD为对角线时，∵AN2=DM2=2，
∴点N2坐标为（1，0），
③当AD∥N3M3，AD=M3N3时，此时点M3的纵坐标为6，当AD∥M4N4，AD=M4N4时，此时点M4的纵坐标为6，
，令y=6，则2x2-4x-6=6，解得x=1$±\sqrt{7}$，
∴M3（1+$\sqrt{7}$，6），M4（1-$\sqrt{7}$，0），
直线M3N3为：y=-2x+8+2$\sqrt{7}$，直线M4N4为：y=-2x+8-2$\sqrt{7}$，
∴N3（4+$\sqrt{7}$，0），N4（4-$\sqrt{7}$，0），
综上所述点N坐标为（-3，0），（1，0），（4+$\sqrt{7}$，0），（4-$\sqrt{7}$，0）．
点评 本题考查二次函数的有关知识，学会待定系数法确定函数解析式，解题的关键是会分类讨论，检验是否符合题意，第三个问题需要画出图形，利用平行四边形的性质会一次函数确定点N的坐标，属于中考压轴题．
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