Question

猜想、探索规律
（1）某校生物教师李老师在生物实验室做试验时，将水稻种子分组进行发芽试验；第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒…即每组所取种子数目比该组前一组增加2粒，按此规律，那么请你推测第100组应该有种子数．

 

粒；
（2）已知a1=

1

1×2×3

+

1

2

=

2

3

，a2=

1

2×3×4

+

1

3

=

3

8

，a3=

1

3×4×5

+

1

4

=

4

15

，…，依据上述规律，则a₉₉=

 

；
（3）下图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，…，那么第101个图案中由

 

个基础图形组成；

（4）观察下列各式：

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，…，根据观察计算：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2008×2009

．

Answer 1

分析：（1）第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒…第n组取（2n-1）粒解决问题；
（2）所有第一个加数分子是1，分母是三个连续自然数的乘积，第二个加数分子是1，分母是三个连续自然数中间的数，和的分母是三个连续自℃然数两端数的乘积，分子是三个连续自然数中间的数，因此可求得a₉₉．
（3）第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，第3个图案由10个基础图形组成，…，第n个图案由（3n+1）个基础图形组成，由此解决问题；
（4）由

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，…

1

n(n+1)

=

1

n

- 

1

n+1

，代入可解决问题．

解答：解：（1）第1组3=2×1+1，
第2组5=2×2+1，
第3组7=2×3+1，
…
第n组有2n+1粒，
所以第100组应该有种子2×100+1=201粒．

（2）由a₁=

1

1×2×3

+

1

2

=

2

1×3

=

2

3

，
a₂=

1

2×3×4

+

1

3

=

3

2×4

=

3

8

，
a₃=

1

3×4×5

+

1

4

=

4

3×5

=

4

15

，
…
所以a₉₉=

1

99×100×101

+

1

100

=

100

99×101

=

100

9999

；

（3）第1个图案由4=4×1-（1-1）=3+1个基础图形组成，
第2个图案由7=4×2-（2-1）=3×2+1个基础图形组成，
第3个图案由10=4×3-（3-1）=3×3+1个基础图形组成，
…，
那么第101个图案中由3×101+1=304个基础图形组成；

（4）把

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

…代入得：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2008×2009

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2008

-

1

2009

=1-

1

2009

=

2008

2009

．

点评：抓住式子的变化规律或数的变化规律，就可以解决问题．