Question

14．直线y=kx+b与抛物线y=$\frac{1}{4}$x²交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点，当OA⊥OB时，直线AB恒过一个定点，该定点坐标为（0，4）．

Answer 1

分析 根据直线y=kx+b与抛物线y=$\frac{1}{4}$x²交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点，可以联立在一起，得到关于x的一元二次方程，从而可以得到两根之和与两根之积，再根据OA⊥OB，可以求得b的值，从而可以得到直线AB恒过的定点的坐标．

解答 解：∵直线y=kx+b与抛物线y=$\frac{1}{4}$x²交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点，
∴kx+b=$\frac{1}{4}{x}^{2}$，
化简，得  x²-4kx-4b=0，
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4b，
又∵OA⊥OB，
∴$\frac{{y}_{1}-0}{{x}_{1}-0}•\frac{{y}_{2}-0}{{x}_{2}-0}=\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}=\frac{\frac{1}{4}{{x}_{1}}^{2}•\frac{1}{4}{{x}_{2}}^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}=\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{16}$=$\frac{-4b}{16}=-1$，
解得，b=4，
即直线y=kx+4，故直线恒过顶点（0，4），
故答案为：（0，4）．

点评 本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，知道两条直线垂直时，它们解析式中的k的乘积为-1．