Question

已知：如图，在Rt△ABC中，AB=BC，在Rt△ADE中，AD=DE，且D在边AB上，连结EC，取EC的中点M，连结DM和BM，将直角三角形ADE绕A点按逆时针旋转45°，结论：△BMD为等腰直角三角形，成立吗？

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：作出旋转后图形，延长DM交AC于F，连接BD，BF，易证∠DEM=∠FCM，即可证明△DEM≌△FCM，可得DM=MF，DE=CF，即可求得AD=CF，即可证明△ADB≌△CFB，可得DB=BF，∠CBF=∠ABD，即可求得∠DBF=90°，即可证明△BDF为等腰直角三角形，根据等腰三角形底边三线合一性质即可解题．

解答：证明：结论成立，
理由：作出旋转后图形，延长DM交AC于F，连接BD，BF，

∵在Rt△ABC中，AB=BC，∴∠BAC=45°，∵∠BAD=45°，∴∠DAC=90°，
∴DE∥AC，
∴∠DEM=∠FCM，
∵在△DEM和△FCM中，

∠DEM=∠FCM EM=CM ∠EMD=∠CMF

，
∴△DEM≌△FCM，（ASA）
∴DM=MF，DE=CF，
∵DE=AD，∴AD=CF，
∵在△ADB和△CFB中，

AD=CF ∠DAB=∠BCA=45° AB=BC

，
∴△ADB≌△CFB，（SAS）
∴DB=BF，∠CBF=∠ABD，
∵∠CBF+∠ABF=90°，
∴∠ABD+∠ABF=90°，即∠DBF=90°，
∴△BDF为等腰直角三角形，
∴BM=DM，∠BMD=90°，
∴△BMD为等腰直角三角形．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，考查了等腰三角形底边三线合一的性质，本题中求证△DEM≌△FCM和△ADB≌△CFB是解题的关键．