题目内容
12．在△ABC中，BC=AC，∠C=90°，直角顶点C在x轴上，一锐角顶点B在y轴上．（1）如图①若AD于垂直x轴，垂足为点D．点C坐标是（-1，0），点A的坐标是（-3，1），求点B的坐标．
（2）如图②，直角边BC在两坐标轴上滑动，若y轴恰好平分∠ABC，AC与y轴交于点D，过点A作AE⊥y轴于E，请猜想BD与AE有怎样的数量关系，并证明你的猜想．
（3）如图③，直角边BC在两坐标轴上滑动，使点A在第四象限内，过A点作AF⊥y轴于F，在滑动的过程中，请猜想OC，AF，OB之间有怎样的关系（直接写出结论，不需要证明）
分析 （1）只要求出Rt△ADC≌Rt△COB即可求．
（2）先说明BD与AE有怎样的数量关系，然后针对得到的数量关系，作出合适的辅助线，画出相应的图形，根据等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线三线合一，可以最终证得所要说明的数量关系；
（3）先猜想OC、AF、OB之间的关系，然后根据猜想作出合适的辅助线，画出相应的图形，然后证明所要证明的结论即可．
解答 解：（1）∵点C坐标是（-1，0），点A的坐标是（-3，1）
∴AD=OC，
在Rt△ADC和Rt△COB中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=OC}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADC≌Rt△COB（HL），
∴OB=CD=2，
∴点B的坐标是（0，2）；
（2）BD=2AF，
理由：作AE的延长线交BC的延长线于点F，如下图2所示，
∵△ABC是等腰直角三角形，BC=AC，直角顶点C在x轴上，AE⊥y轴于E，
∴∠BCA=∠ACF=90°，∠AED=90°，
∴∠DBC+∠BDC=90°，∠DAE+∠ADE=90°，
∵∠BDC=∠ADE，
∴∠DBC=∠FAC，
在△BDC和△AFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BCD=∠ACF}\\{BC=AC}\\{∠DBC=∠FAC}\end{array}\right.$，
∴△BDC≌△AFC（ASA）
∴BD=AF，
∵BE⊥AE，y轴恰好平分∠ABC，
∴AF=2AE，
∴BD=2AF；
（3）OC=OB+AF，
证明：作AE⊥OC于点E，如下图3所示，
∵AE⊥OC，AF⊥y轴，
∴四边形OFAE是矩形，∠AEC=90°，
∴AF=OE，
∵△ABC是等腰直角三角形，BC=AC，直角顶点C在x轴上，∠BOC=90°，
∴∠BCA=90°，
∴∠BCO+∠CBO=90°，∠BCO+∠ACE=90°，
∴∠CBO=∠ACE，
在△BOC和△CEO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BOC=∠CEA}\\{∠CBO=∠ACE}\\{BC=AC}\end{array}\right.$
∴△BOC≌△CEO（AAS）
∴OB=CE，
∵OC=OE+EC，OE=AF，OB=EC，
∴OC=OB+AF．
点评 本题考查全等三角形的判定与性质、坐标与图形的性质、等腰直角三角形，解题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
如图，在△ABC中，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点D，点E在$\widehat{BD}$上，连接DE，AE，连接CE并延长交AB于点F，∠AED=∠ACF．
已知在△ABC中，∠A=62°，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，且BO、CO相交于O，则∠BOC的度数是121°．| A． | 18 | B． | 28 | C． | -28 | D． | -18 |
| A． | $\frac{3{a}^{4}{b}^{2}}{6{a}^{2}{b}^{4}}$=$\frac{{a}^{3}}{2{b}^{2}}$ | B． | $\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{a+b}$=a+b | ||
| C． | $\frac{x+3}{{x}^{2}-9}$=$\frac{3}{x-3}$ | D． | $\frac{b-a}{（a-b）^{2}}$=$\frac{1}{b-a}$ |