Question

16．如图，抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+2与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接AC、BC．
（1）抛物线的顶点坐标是（-$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{8}$）；
（2）①求A、B两点的坐标；
②猜想AC与BC的位置关系，并说明理由；
（3）如果点P是抛物线对称轴上的一个动点，当点P到B、C两点的距离之差最大时，求P点的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线的顶点坐标公式直接计算；
（2）①令y=0解一元二次方程即可；②利用勾股定理的逆定理判断△ABC是直角三角形；
（3）判断出点P到B、C两点的距离之差最大时，点P的位置即可．

解答 解：（1）∵a=-$\frac{1}{2}$，b=-$\frac{3}{2}$，c=2，
∴-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{-\frac{3}{2}}{2×（-\frac{1}{2}）}$=-$\frac{3}{2}$，
$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$=$\frac{4×（-\frac{1}{2}）×2-（-\frac{3}{2}）^{2}}{4×（-\frac{1}{2}）}$=$\frac{25}{8}$，
∴顶点坐标为（-$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{8}$），
故答案为（-$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{8}$），
（2）①令y=0，
∴-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+2=0，
∴x₁=-4，x₂=1，
∴A（-4，0），B（1，0）；
②AC⊥BC，
理由：由抛物线解析式得，C（0，2），
∴AC²=16+4=20，BC²=1+4=5，AB²=25，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ABC是直角三角形，
∴AC⊥BC；
（3）∵点P是抛物线对称轴上的一个动点，当点P到B、C两点的距离之差最大，
∴点P在直线BC上，
∵C（0，2），B（1，0），
∴直线BC解析式为y=-2x+2，
∵点P在对称轴x=-$\frac{3}{2}$上，
∴y=5，
∴P（-$\frac{3}{2}$，5）．

点评 此题是抛物线与x轴的交点题，主要考查了抛物线的顶点公式，抛物线与x轴的交点的求法，直角三角形的判定，解本题的关键是熟练掌握抛物线的性质．