Question

16．探究：如图①，在正方形ABCD中，点E在边BC上（点E不与点B、C重合），连结AE，过点E作AE⊥EF，EF交边CD于点F，求证：△ABE≌△ECF．
拓展：如图②，△ABC是等边三角形，点D在边BC上（点D不与点B、C重合），连结AD，以AD为边作∠ADE=∠ABC，DE交边AC于点E，若AB=3，BD=x，CE=y，求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质和已知条件证明∠BAE=∠FEC，即可证明：△ABE∽△ECF；
（2）根据等边三角形的性质得到∠B=∠C=60°，于是得到∠BAD+∠ADB=120°，根据已知条件得到∠ADB+∠CDE=120°，等量代换得到∠BAD=∠CDE，推出△ABD∽△DCE，由相似三角形的性质得到$\frac{AB}{CD}=\frac{BD}{CE}$，代入数据即可得到结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°，
∴∠BAE+∠BEA=90°，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF=90°，
∴∠BEA+∠FEC=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
∴△ABE∽△ECF；
（2）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∴∠BAD+∠ADB=120°，
∵∠ADE=∠ABC，
∴∠ADE=60°，
∴∠ADB+∠CDE=120°，
∴∠BAD=∠CDE，
∴△ABD∽△DCE，
∴$\frac{AB}{CD}=\frac{BD}{CE}$，
∵AB=3，BD=x，CE=y，
∴$\frac{3}{3-x}=\frac{x}{y}$，
∴y=-$\frac{1}{3}$x²+x．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，等边三角形的性质，求二次函数的解析式，证得△ABD∽△DCE是解题的关键．