Question

20．如图，△ABC是等腰直角三角形，延长BC至E使BE=BA，过点B作BD⊥AE于点D，BD与AC交于点F，连接EF．
（1）求证：BF=2AD；
（2）若CE=$\sqrt{2}$，求AC的长．

Answer 1

分析 （1）由△ABC是等腰直角三角形，得到AC=BC，∠FCB=∠ECA=90°，由于AC⊥BE，BD⊥AE，根据垂直的定义得到∠CBF+∠CFB=90°，∠DAF+∠AFD=90°，由于∠CFB=∠AFD，于是得到∠CBF=∠CAE，证得△BCF≌△ACE，得出AE=BF，由于BE=BA，BD⊥AE，于是得到AD=ED，即AE=2AD，即可得到结论；
（2）由（1）知△BCF≌△ACE，推出CF=CE=$\sqrt{2}$，在Rt△CEF中，EF=$\sqrt{C{E}^{2}+C{F}^{2}}$=2，由于BD⊥AE，AD=ED，求得AF=FE=2，于是结论即可．

解答 （1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC，∴∠FCB=∠ECA=90°，
∵AC⊥BE，BD⊥AE，
∴∠CBF+∠CFB=90°，∠DAF+∠AFD=90°，
∵∠CFB=∠AFD，
∴∠CBF=∠CAE，
在△BCF与△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠FCB=∠ECA}\\{AC=BC}\\{∠CBF=∠CAE}\end{array}\right.$，
∴△BCF≌△ACE，
∴AE=BF，
∵BE=BA，BD⊥AE，
∴AD=ED，即AE=2AD，
∴BF=2AD；

（2）由（1）知△BCF≌△ACE，
∴CF=CE=$\sqrt{2}$，
∴在Rt△CEF中，EF=$\sqrt{C{E}^{2}+C{F}^{2}}$=2，
∵BD⊥AE，AD=ED，
∴AF=FE=2，
∴AC=AF+CF=2+$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．