Question

3．如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB中垂线交AC于D，交AB于E，则AC和CD关系是（　　）

• A． AC=3DC
• B． AC=2DC
• C． AC=$\frac{3}{2}$DC
• D． 无法确定

Answer 1

分析 由DE垂直平分AB可得DB=DA，继而知∠A=∠ABD=30°、∠BDC=60°，设CD=a，可得BD=AD=2a，即可得答案．

解答 解：设CD=a，
∵AB中垂线交AC于D，交AB于E，∠A=30°，
∴DB=DA，
∴∠A=∠ABD=30°，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=60°，
∴AD=BD=$\frac{CD}{cos∠BDC}$=$\frac{a}{\frac{1}{2}}$=2a，
∴AC=AD+CD=2a+a=3a，
∴AC=3CD，
故选：A．

点评 本题主要考查线段的垂直平分线、解直角三角形，熟练掌握垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等是解题的关键．