Question

20．由若干边长为1的小正方形拼成一系列“L”形图案（如图1）．

（1）当“L”形由7个正方形组成时，其周长为16；
（2）如图2，过格点D作直线EF，分别交AB，AC于点E，F．
①试说明AE•AF=AE+AF；
②若“L”形由n个正方形组成时，EF将“L”形分割开，直线上方的面积为整个“L”形面积的一半，试求n的取值范围以及此时线段EF的长．

Answer 1

分析 （1）画出图形即可解决问题．
（2）如图2中，连接AD，根据S_△EAF=S_△ADE+S_△ADF即可解决问题．
（3）如图3中，设有n个正方形，AE=x，AF=y，列方程组，根据判别式△≥0即可解决问题．

解答 解：（1）当“L”形由7个正方形组成时，其周长为2×7+2=16．
故答案为16．

（2）①如图2中，连接AD，

∵S_△EAF=S_△ADE+S_△ADF=$\frac{1}{2}$•AE•AF=$\frac{1}{2}$•AE•1+$\frac{1}{2}$•AF•1，
∴AE•AF=AE+AF．

②如图3中，设有n个正方形，AE=x，AF=y，

∵$\frac{1}{2}$xy=$\frac{1}{2}$n，
∴xy=x+y=n，
∴x=n-y   ①
∵DG∥AF，
∴$\frac{EG}{EA}$=$\frac{DG}{AF}$，
∴$\frac{x-1}{x}$=$\frac{1}{y}$，
∴xy-y=x    ②
①代入②得到，y²-ny+n=0，
∵△≥0，
∴n²-4n≥0，
解得n≤0或n≥4，
∵n＞0，
∴n≥4．
∴EF=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{（x+y）^{2}-2xy}$=$\sqrt{{n}^{2}-2n}$．

点评 本题考查四边形综合题、一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是利用面积法解决AE、AF之间的数量关系，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．