Question

1．如图，已知抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²-2x+6与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点，连接AC．
（1）求直线AC的解析式；
（2）点P为直线AC上方抛物线上的一点，过点P作PD⊥AC点D，当线段PD的最长时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接PB，Q为抛物线上一动点，过点Q做QF⊥PB交直线PB于点F．若Q点的横坐标为t，抛物线的对称轴与AC交于点E，求t为何值时，EF=QE？

Answer 1

分析 （1）根据坐标轴上点的特点，令x=0，y=0，再用待定系数法求解即可；
（2）先判断出△PDE∽△AOC，得到PD=DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PE，再建立PE=-$\frac{1}{2}$x²-2x+6-（x+6）=-$\frac{1}{2}$x²-3x，根据二次函数极值的确定方法即可；
（3）先求出直线PB解析式为y=-$\frac{3}{2}$x+3，再确定出QQ₁的解析式，求出它和抛物线的交点坐标的横坐标即可．

解答 解：（1）令x=0，y=6，
∴A（0，6），
令y=0，-$\frac{1}{2}$x²-2x+6=0，
∴x₁=2，x₂=-6，
∴B（2，0），C（-6，0），
设直线AC的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=6}\\{-6k+6=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直线AC解析式为y=x+6，
（2）如图，作PM∥y轴交AC于M，
∴∠PMA=∠CAO，
∵∠PDM=∠AOC=90°，
∴△PDM∽△AOC
∵OA=OC，
∴PD=DM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PM，
设P（x，-$\frac{1}{2}$x²-2x+6），
∴M（x，x+6），
∴PM=-$\frac{1}{2}$x²-2x+6-（x+6）=-$\frac{1}{2}$x²-3x，
当x=-3时，PM最长，
把x=-3代入y=-$\frac{1}{2}$x²-2x+6=$\frac{15}{2}$，
∴P（-3，$\frac{15}{2}$）；
（3）如图，过Q作QQ₁∥PB交抛物线对称轴于H，交AC于I，
∵QF⊥PD，
∴QF⊥QQ₁，
∵EF=QE，
∴∠EFQ=∠EQF，
∴∠EFD=∠EQH，
∴点E是ID的中点，
∵B（2，0），P（-3，$\frac{15}{2}$）；
∴直线PB解析式为y=-$\frac{3}{2}$x+3，
∵直线AC解析式为y=x+6，
∴D（-$\frac{6}{5}$，$\frac{24}{5}$），
∵E（-2，4），
∴I（-$\frac{14}{5}$，$\frac{16}{5}$）
∵直线Q₁Q∥PB，且过I
∴Q₁Q解析式为y=-$\frac{3}{2}$x-1，
∵$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{2}x-1}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}-2x+6}\end{array}\right.$，
∴x=$\frac{-1±\sqrt{57}}{2}$，
∴t=$\frac{-1+\sqrt{57}}{2}$．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，待定系数法，三角形的相似的性质和判定，对称的性质，解本题的关键是确定函数关系式．