Question

3．如图已知AB为半⊙O的直径，C、D为弧$\widehat{AB}$上两点，P、Q分别为△OAC、△OBD的外心．证明：CP•CQ=DP•DQ．

Answer 1

分析 连接AP，OP，AD，BQ，OQ，BC，只要证明△APD∽△QBC，即可解决问题．

解答 解：连接AP，OP，AD，BQ，OQ，BC，

设∠BAD=α，∠ABC=β，
∵∠OAP=∠AOP=$\frac{1}{2}∠$AOC=∠ABC=β，∠OBQ=∠BOQ=$\frac{1}{2}∠$BOD=∠BAD=α，
∴∠PAD=∠OAP-∠OAD=β-α=∠OBC-∠OBQ=∠QBC，
∵$\frac{AD}{AP}=\frac{AD}{AB}•\frac{AB}{AO}•\frac{AO}{AP}$=cosα×2×2cosβ=4cosα×cosβ，
同理$\frac{BC}{BQ}$=4cosα×cosβ，
∴$\frac{AD}{AP}$=$\frac{BC}{BQ}$，
∴$\frac{AD}{BC}$=$\frac{AP}{BQ}$∵∠PAD=∠QBC，
∴△APD∽△QBC，
∴$\frac{AP}{QB}$=$\frac{PD}{CQ}$，∵PA=PC，BQ=DQ，
∴$\frac{PC}{DQ}$=$\frac{PD}{CQ}$，
∴CP•CQ=DP•DQ．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、三角形的外心与外接圆等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造相似三角形，题目比较难，属于竞赛题目．