已知:在平面直角坐标系中A.且满足4a2+$\frac{1}{4}$b2-16a-2b+20=0.点P(m.m)在线段AB上．(1)求A.B的坐标,(2)如图1.若过P作PC⊥AB交x轴于C.交y轴于点D.求$\frac{{S} {△BCP}}{{S} {△OCP}}$的值,(3)如图2.以AB为斜边在AB下方作等腰直角△ABC.CG⊥OB于G.设I是∠OAB的角平分线与OP的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．已知：在平面直角坐标系中A（0，a）、B（b，0），且满足4a²+$\frac{1}{4}$b²-16a-2b+20=0，点P（m，m）在线段AB上．
（1）求A、B的坐标；
（2）如图1，若过P作PC⊥AB交x轴于C，交y轴于点D，求$\frac{{S}_{△BCP}}{{S}_{△OCP}}$的值；
（3）如图2，以AB为斜边在AB下方作等腰直角△ABC，CG⊥OB于G，设I是∠OAB的角平分线与OP的交点，IH⊥AB于H．请探究$\frac{BH-AH}{CG}$的值是否发生改变，若不改变求出其值，若改变请说明理由．

分析（1）根据非负数的性质即可解决问题．
（2）先求出直线AB的解析式，利用方程组求出点P坐标，再求出直线PC的解析式，求出点C坐标即可解决问题．
（3）如图2中，作IE⊥OA于E，CM⊥y轴于M，IF⊥OB于F．由△ACM≌△BCF，推出AM=BG，CM=CG，推出BH-AH=OB-OA=2CG，即可解决问题．

解答解：（1）∵4a²+$\frac{1}{4}$b²-16a-2b+20=0，
∴（4a²-16a+16）+（$\frac{1}{4}$b²-2b+4）=0，
∴4（a-2）²+$\frac{1}{4}$（b-4）²=0，
∵4（a-2）²≥0，$\frac{1}{4}$（b-4）²≥0，
∴a=2，b=4，
∴A（0，2），B（4，0）．

（2）如图1中，

∵A（0，2），B（4，0），
∴直线AB的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2，
∵P（m，m），
∴点P在直线y=x上，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-\frac{1}{2}x+2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{3}}\\{y=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
∴点P（$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$），
∵PC⊥AB，
∴直线PC的解析式为y=2x-$\frac{4}{3}$，
∴点C坐标为（$\frac{2}{3}$，0），
∴OC=$\frac{2}{3}$，BC=$\frac{10}{3}$，
∴$\frac{{S}_{△BCP}}{{S}_{△OCP}}$=$\frac{\frac{2}{3}}{\frac{10}{3}}$=$\frac{1}{5}$．

（3）$\frac{BH-AH}{CG}$的值不变．理由如下：
如图2中，作IE⊥OA于E，CM⊥y轴于M，IF⊥OB于F．

∵设I是∠OAB的角平分线与OP的交点，OP平分∠AOB，
∴I是内心，∵IH⊥AB，IE⊥OA，IF⊥OB，
∴IE=IH=IF，易知AH=AE，BF=BH，
∴BH-AH=BF-AE=OB-OA，
∵∠MCG=∠ACB=90°，
∴∠ACM=∠BCG，
在△ACM和△BCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AMC=BFC}\\{∠ACM=∠BCF}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACM≌△BCF，
∴AM=BG，CM=CG，
∵∠OMC=∠OGC=∠MOG=90°，
∴四边形OMCG是矩形，∵CM=CG，
∴四边形OMCG是正方形，
∴OM=OG=CG=CM，
∴BH-AH=OB-AO=（BG+OG）-（AM-OM）=2CG，
∴$\frac{BH-AH}{CG}$=$\frac{2CG}{CG}$=2．