Question

在△ABC中，BC=10，
如图甲，B₁是AB的中点，BC∥B₁C₁，则B₁C₁=

 

；
如图乙，B₁、B₂是AB的三等分点，BC∥B₁C₁∥B₂C₂，则B₁C₁+B₂C₂=

 

；
如图丙，B₁、B₂、…、B_n-1是AB的n等分点，BC∥B₁C₁∥B₂C₂∥…∥B_n-1C_n-1，则BC+B₁C₁+B₂C₂+…+B_n-1C_n-1=

 

．

Answer 1

考点：三角形中位线定理,梯形中位线定理

专题：规律型

分析：根据相似三角形的性质，和等分点求出边与BC的相似比，找到规律，计算B₁C₁+B₂C₂+…+B_n-1C_n-1的值．

解答：解：在图甲中∵BC∥B₁C₁，
∴

AB1

AB

=

B1C1

CB

，
∵B₁是AB的中点，
∴B₁C₁=

1

2

BC，
在图乙中，∵B₁、B₂是AB的三等分点，BC∥B₁C₁∥B₂C₂，
∴

B1C1

BC

=

AB1

AB

=

1

3

，

B2C2

BC

=

AB2

BC

=

2

3

，
∴B₁C₁=

1

3

BC，B₂C₂=

2

3

BC，
∴B₁C₁+B₂C₂=

1

3

BC+

2

3

BC=BC=10，
那么在图丙中，B₁C₁=

1

n

BC，B₂C₂=

2

n

BC，…B_n-1C_n-1=

n-1

n

BC，
∴B₁C₁+B₂C₂+…+B_n-1C_n-1=

1+2+3+…+n-1

n

BC=

n(n-1) 2

n

CB=5（n-1）．
故答案为：5；10；5（n-1）．

点评：本题主要利用相似三角形的性质和等分点求出边与BC的相似比，找出规律是关键．