Question

观察下列等式：
第1个等式：a₁=

1

1×3

=

1

2

×（1-

1

3

）；
第2个等式：a₂=

1

3×5

=

1

2

×（

1

3

-

1

5

）；
第3个等式：a₃=

1

5×7

=

1

2

×（

1

5

-

1

7

）；
第4个等式：a₄=

1

7×9

=

1

2

×（

1

7

-

1

9

）；
…
请解答下列问题：
（1）按以上规律列出第5个等式：a₅=______；
（2）用含有n的代数式表示第n个等式：a_n=______=______（n为正整数）；
（3）求a₁+a₂+a₃+a₄+…+a₁₀₀的值．

Answer 1

根据观察知答案分别为：
（1）

1

9×11

；

1

2

×(

1

9

-

1

11

)；     

（2）

1

(2n-1)(2n+1)

；  

1

2

×(

1

2n-1

-

1

2n+1

)；

（3）a₁+a₂+a₃+a₄+…+a₁₀₀的
=

1

2

×（1-

1

3

）+

1

2

×（

1

3

-

1

5

）+

1

2

×（

1

5

-

1

7

）+

1

2

×（

1

7

-

1

9

）+…+

1

2

×(

1

199

-

1

201

)
=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+

1

7

-

1

9

+…+

1

199

-

1

201

）
=

1

2

（1-

1

201

）
=

1

2

×

200

201

=

100

201

．