题目内容
（2013•密云县一模）观察下列等式：
第1个等式：a1=
=
×（1-
）；
第2个等式：a2=
=
×（
-
）；
第3个等式：a3=
=
×（
-
）；
第4个等式：a4=
=
×（
-
）；
…
请解答下列问题：
（1）按以上规律列出第5个等式：a5=
=
×（
-
）
×（
-
）；
（2）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值为
．
第1个等式：a1=
| 1 |
| 1×3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
第2个等式：a2=
| 1 |
| 3×5 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 5 |
第3个等式：a3=
| 1 |
| 5×7 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 7 |
第4个等式：a4=
| 1 |
| 7×9 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 7 |
| 1 |
| 9 |
…
请解答下列问题：
（1）按以上规律列出第5个等式：a5=
| 1 |
| 9×11 |
| 1 |
| 9×11 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 9 |
| 1 |
| 11 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 9 |
| 1 |
| 11 |
（2）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值为
| 100 |
| 201 |
| 100 |
| 201 |
分析：（1）观察知，找第一个等号后面的式子规律是关键：分子不变，为1；分母是两个连续奇数的乘积，它们与式子序号之间的关系为：序号的2倍减1和序号的2倍加1．
（2）运用（1）中变化规律计算得出即可．
（2）运用（1）中变化规律计算得出即可．
解答：解：（1）第1个等式：a1=
=
×（1-
）；
第2个等式：a2=
=
×（
-
）；
第3个等式：a3=
=
×（
-
）；
第4个等式：a4=
=
×（
-
）；
…
则第5个等式：a5=
=
×（
-
）；
故答案为：
，
×（
-
）；
（2）a1+a2+a3+a4+…+a100
=
×（1-
）+
×（
-
）+…+
×（
-
），
=
×（1-
+
-
+…+
-
），
=
×（1-
），
=
．
故答案为：
．
| 1 |
| 1×3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
第2个等式：a2=
| 1 |
| 3×5 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 5 |
第3个等式：a3=
| 1 |
| 5×7 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 7 |
第4个等式：a4=
| 1 |
| 7×9 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 7 |
| 1 |
| 9 |
…
则第5个等式：a5=
| 1 |
| 9×11 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 9 |
| 1 |
| 11 |
故答案为：
| 1 |
| 9×11 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 9 |
| 1 |
| 11 |
（2）a1+a2+a3+a4+…+a100
=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 199 |
| 1 |
| 201 |
=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 199 |
| 1 |
| 201 |
=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 201 |
=
| 100 |
| 201 |
故答案为：
| 100 |
| 201 |
点评：此题考查了数字的规律及运用规律计算．寻找规律大致可分为2个步骤：不变的和变化的；变化的部分与序号的关系．
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