Question

在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，CE为AB边上的中线，且∠BCD=3∠DCA，求证：DE=DC．

Answer 1

考点：直角三角形斜边上的中线,直角三角形的性质

专题：证明题

分析：根据：∠ACB=90°且∠BCD=3∠DCA求得∠BCD和∠DCA的度数，然后根据直角三角形的性质求得∠A、∠B的度数，然后根据三角形的性质证明：∠DCE=∠CED，利用等角对等边即可证得．

解答：解：∵∠ACB=90°且∠BCD=3∠DCA，
∴∠ACD=90°×

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=22.5°，∠BCD=72.5°．
∴直角△ACD中，∠A=90°-22.5°=72.5°，
同理，∠B=22.5°．
∵直角△ABC中，CE为AB边上的中线，
∴CE=

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AB=BE，
∴∠BCE=∠B=22.5°，
∴∠DCE=∠DCB-∠BCE=45°，
又∵∠CED=∠B+∠BCE=22.5°+22.5°=45°，
∴∠DCE=∠CED，
∴DE=DC．

点评：本题考查了直角三角形的性质，直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，以及等腰三角形的判定，正确求得∠DCE的度数是关键．