题目内容

设a、b、c、d都是整数且m=a2+b2，n=c2+d2.

试证：mn也可表示成两个整数的平方和.

答案：
解析：

证明：mn=(a2+b2)(c2+d2)

            =a2c2+b2d2+b2c2+a2d2

            =a2c2+b2d2-2abcd+b2c2+a2d2+2abcd

            =(ac-bd)2+(bc+ad)2

∵a、b、c、d是整数，ac-bd、bc+ad也是整数.


练习册系列答案
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设
2
x
-
3
y
=
1
4
，x，y都是正整数，则方程有
 
组正整数解．
如图（1），（2）所示，矩形ABCD的边长AB=6，BC=4，点F在DC上，DF=2．动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上），当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动．连接FM、FN，当F、N、M不在同一直线时，可得△FMN，过△FMN三边的中点作△PWQ．设动点M、N的速度都是1个单位/秒，M、N运动的时间为x秒．试解答下列问题：
（1）说明△FMN∽△QWP；
（2）设0≤x≤4（即M从D到A运动的时间段）．试问x为何值时，△PWQ为直角三角形？当x在何范围时，△PQW不为直角三角形？
（3）问当x为何值时，线段MN最短？求此时MN的值．
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19、设a、b、c、d都是自然数，且a2+b2=c2+d2，证明：a+b+c+d定是合数．
设a，b，c，d都是正整数，而且a＞b2＞c3＞d4＞1，则a的最小值=
37
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．
设a、b、c、d都是自然数，且a5=b4，c3=d2，a-c=17，求d-b的值．

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