Question

6．在△ABC中，∠ABC=90°，D是AB边上的一点，且AD=CD，P是直线AC上任意一点，过点P作PE⊥AD于点E，PF⊥CD于点F．
（1）如图1，当点P在线段AC上，猜想：线段PE、PF与BC的数量关系，并证明你的猜想；
（2）当点P在AC的延长线上时，其它条件不变，请你在图2中补全图形，并标记相应的字母，并根据补全的图形猜想PE、PF与BC又有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明．

Answer 1

分析 （1）BC=PE+PF．如图1，过点P作PH⊥BC于点H，所以∠PHB=90°，由PE⊥AD，得到∠PEB=90°，因为∠ABC=90°，所以四边形BEPH为矩形，得到PE=BH，AB∥PH，再证明△PCH≌△CPF，得到CH=PF，由BC=BH+CH，所以BC=PE+PF．
（2）根据题意补全图形，猜想并得到结论：AB=PE-PF．

解答 解：（1）BC=PE+PF．
证明：如图1，过点P作PH⊥BC于点H，

∴∠PHB=90°，
∵PE⊥AD，
∴∠PEB=90°，
∵∠ABC=90°，
∴四边形BEPH为矩形，
∴PE=BH，AB∥PH，
∴∠A=∠CPH，
∵AD=CD，
∴∠A=∠DCA，
∴∠CPH=∠DCA，
∵PF⊥CD，
∴∠PHC=∠PFC=90°，
在△PCH和△CPF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CPH=∠DCA}\\{∠PHC=∠PFC}\\{PC=PC}\end{array}\right.$，
∴△PCH≌△CPF，
∴CH=PF，
∵BC=BH+CH，
∴BC=PE+PF．
（2）补全图形，如图2所示，

结论：BC=PE-PF．

点评 本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理，解决本题的关键是作出辅助线，证明三角形全等．