Question

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AG⊥BC于点G，BD平分∠ABC，AE⊥BD于点H，交BC于点E，AG与BD相交于点F，求证：EF=AD．

Answer 1

考点：角平分线的性质,线段垂直平分线的性质

专题：证明题

分析：求出BH为AE的垂直平分线，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AF=EF，根据等角的余角相等求出∠ADB=∠AFD，再根据等角对等边可得AF=AD，然后等量代换即可得证．

解答：证明：∵BD平分∠ABC，AE垂直于BD，
∴BH为AE的垂直平分线，
∵F在BD上，
∴AF=EF，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABD，
∵AG⊥BC，AE⊥BD，
∴∠ABD+∠ADB=90°，∠DBC+∠BFG=90°，
∴∠ADB=∠BFG，
∵∠AFD=∠BFG，
∴∠ADB=∠AFD，
∴AF=AD，
又∵AF=EF，
∴AD=EF．

点评：本题考查了角平分线上的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，等角对等边的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．