Question

如图，OE平分∠AOB，EC⊥OA于点C，ED⊥OB于点D．求证：OE垂直平分CD．

Answer 1

考点：角平分线的性质,全等三角形的判定与性质,线段垂直平分线的性质

专题：证明题

分析：由于OE平分∠AOB，EC⊥OA于点C，ED⊥OB于点D，根据角平分线性质得EC=ED，则可根据“HL”判断Rt△ECO≌Rt△EDO，得到OC=OD，根据线段垂直平分线的判定，得到点O在线段CD的垂直平分线上，点E在线段CD的垂直平分线上，因此可得OE为CD的垂直平分线．

解答：证明：∵OE平分∠AOB，EC⊥OA于点C，ED⊥OB于点D，
∴EC=ED，
在Rt△ECO和Rt△EDO中

EC=ED EO=EO

，
∴Rt△ECO≌Rt△EDO，
∴OC=OD，
∴点O在线段CD的垂直平分线上，
而EC=ED，
∴点E在线段CD的垂直平分线上，
∴OE为CD的垂直平分线，
即OE垂直平分CD．

点评：本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了线段垂直平分线的判定和性质．