[探究]如图1.点N(m.n)是抛物线${y 1}=\frac{1}{4}{x^2}-1$上的任意一点.l是过点且与x轴平行的直线.过点N作直线NH⊥l.垂足为H．①计算:m=0时.NH=1, m=4时.NO=5．②猜想:m取任意值时.NO=NH．[定义]我们定义:平面内到一个定点F和一条直线l距离相等的点的集合叫做抛物线.其中点F叫做抛物线的“焦点 .直线l叫做抛物线� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

13．【探究】如图1，点N（m，n）是抛物线${y_1}=\frac{1}{4}{x^2}-1$上的任意一点，l是过点（0，-2）且与x轴平行的直线，过点N作直线NH⊥l，垂足为H．
①计算：m=0时，NH=1； m=4时，NO=5．
②猜想：m取任意值时，NO=NH（填“＞”、“=”或“＜”）．
【定义】我们定义：平面内到一个定点F和一条直线l（点F不在直线l上）距离相等的点的集合叫做抛物线，其中点F叫做抛物线的“焦点”，直线l叫做抛物线的“准线”．如图1中的点O即为抛物线y₁的“焦点”，直线l：y=-2即为抛物线y₁的“准线”．可以发现“焦点”F在抛物线的对称轴上．
【应用】（1）如图2，“焦点”为F（-4，-1）、“准线”为l的抛物线${y_2}=\frac{1}{4}{（{x+4}）^2}+k$与y轴交于点N（0，2），点M为直线FN与抛物线的另一交点．MQ⊥l于点Q，直线l交y轴于点H．
①直接写出抛物线y₂的“准线”l：y=-3；
②计算求值：$\frac{1}{MQ}+\frac{1}{NH}$=1；
（2）如图3，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心，半径为1的⊙O与x轴分别交于A、B两点（A在B的左侧），直线$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+n$与⊙O只有一个公共点F，求以F为“焦点”、x轴为“准线”的抛物线${y_3}=a{x^2}+bx+c$的表达式．

分析（1）①根据勾股定理，可得ON的长，根据点到直线的距离，可得可得NH的长；
②根据图象上的点满足函数解析式，可得点的坐标，根据勾股定理，可得NO的长，根据点到直线的距离，可得NH的长；
（2）①根据抛物线的“准线”的定义即可得到抛物线y₂的“准线”l；
②先求出MQ和NH的长，代入即可求解；
（2）分两种情况：①当“焦点”为${F_1}（{\frac{1}{2}，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$，顶点为$（{\frac{1}{2}，-\frac{{\sqrt{3}}}{4}}）$，C（2，0）时；②当“焦点”为${F_2}（{\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$，顶点为$（{-\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{4}}）$，C（-2，0）时；进行讨论可得以F为“焦点”、x轴为“准线”的抛物线${y_3}=a{x^2}+bx+c$的表达式．

解答解：（1）①当m=0时，N（0，-1），ON=1，NH=-1-（-2）=1；
当m=4时，y=3，N（4，3），ON=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，NH=3-（-2）=3+2=5，
故答案为：1；5；
（2）猜想：NO=NH，
证明：如图1，NH交x轴与点Q，
∵N在y=$\frac{1}{4}$x²-1上，
∴设N（m，$\frac{1}{4}$m²-1），NQ=|$\frac{1}{4}$m²-1|，OQ=|m|，
∵△ONQ是直角三角形，
∴ON=$\sqrt{N{Q}^{2}+O{Q}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{1}{4}{m}^{2}-1）^{2}+{m}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{1}{4}{m}^{2}+1）^{2}}$=$\frac{1}{4}$m²+1，
NH=y_N-（-2）=（$\frac{1}{4}$m²-1）-（-2）=$\frac{1}{4}$m²+1
ON=NH．
故答案为：=；
【应用】（1）①抛物线y₂的“准线”l：y=-3；
故答案为：y=-3；
②$\frac{1}{MQ}+\frac{1}{NH}$=$\frac{4}{5}$+$\frac{1}{5}$=1；
故答案为：1；
（2）如图3，设直线$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+n$与x轴相交于点C．
由题意可知直线CF切⊙O于F，连接OF．
∴∠OFC=90°
∴∠COF=60°
又∵OF=1，
∴OC=2，
∴C（±2，0），
∴“焦点”${F_1}（{\frac{1}{2}，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$、${F_2}（{-\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$．
∴抛物线y₃的顶点为$（{\frac{1}{2}，-\frac{{\sqrt{3}}}{4}}）或（{-\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{4}}）$．
①当“焦点”为${F_1}（{\frac{1}{2}，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$，顶点为$（{\frac{1}{2}，-\frac{{\sqrt{3}}}{4}}）$，C（2，0）时，
易得直线CF₁：$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x-\frac{2}{3}\sqrt{3}$．
过点A作AM⊥x轴，交直线CF₁于点M．
∴MA=MF₁，
∴$M（{-1，-\sqrt{3}}）$在抛物线y₃上．
设抛物线${y_3}=a{（{x-\frac{1}{2}}）^2}-\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，将M点坐标代入可求得：$a=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∴${y_3}=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}{（{x-\frac{1}{2}}）^2}-\frac{{\sqrt{3}}}{4}=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}{x^2}+\frac{{\sqrt{3}}}{3}x-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$；
②当“焦点”为${F_2}（{\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$，顶点为$（{-\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{4}}）$，C（-2，0）时，
由中心对称性可得：y₃=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²+$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
综上所述：抛物线${y_3}=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}{x^2}+\frac{{\sqrt{3}}}{3}x-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$或y₃=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²+$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{\sqrt{3}}{3}$．