Question

如图，
（1）在梯形ABCD中，AB∥DC，若∠A=∠B，求证：AD=BC．
（2）写出（1）的逆命题，并证明．

Answer 1

考点：梯形,平行四边形的判定与性质,命题与定理

专题：

分析：（1）根据平行线的性质得出四边形ADCE为平行四边形，得出AD=CE，∠CEB=∠A，已知∠A=∠B，得出∠CEB=∠B，从而得出BC=CE，可推出答案．
（2）根据平行线的性质得出四边形ADCE为平行四边形，得出AD=CE，∠CEA=∠A，已知AD=BC，得出CE=BC，从而得出∠CEB=∠B，可推出答案．

解答：解：（1）过C作CE∥DA交AB于E，
∴∠A=∠CEB，
又∵∠A=∠B，
∴∠CEB=∠B，
∴BC=EC，
又∵AB∥DC  CE∥DA，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AD=EC，
∴AD=BC；　　　　　

（2）（1）的逆命题：在梯形ABCD中，AB∥DC，若AD=BC，求证：∠A=∠B
证明：过C作CE∥DA交AB于E．
∴∠A=∠CEB，
又∵AB∥DC，CE∥DA，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AD=EC，
又∵AD=BC，
∴BC=EC，
∴∠CEB=∠B，
∴∠A=∠B．

点评：本题主要考查对等腰三角形的性质和判定，平行四边形的判定和性质，等腰梯形的判定等知识点的理解和掌握，注意准确作出辅助线是解此题的关键．