Question

14．如图所示，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB=8，∠DAB=60°，过点O作OE∥BC交CD于点E，连接AE交BD于点O₁，过点O₁作O₁E₁∥BC交CD于点E₁…依此规律进行下去，则S${\;}_{△A{O}_{n}{E}_{n}}$=S${\;}_{△D{O}_{n}{E}_{n}}$（填入″＞″、″=″或″＜″），△AO_nE_n的面积是（$\frac{4}{9}$）ⁿ•4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 利用平行线的性质，平行线间的距离相等，可得S${\;}_{△A{O}_{n}{E}_{n}}$=S${\;}_{△D{O}_{n}{E}_{n}}$，由△DO₁E₁∽△DOE，推出$\frac{{S}_{△D{O}_{1}{E}_{1}}}{{S}_{△DOE}}$=（$\frac{2}{3}$）²=$\frac{4}{9}$，探究规律后，利用规律即可解决问题．

解答 解：①∵O_nE_n∥AD，
∴S${\;}_{△A{O}_{n}{E}_{n}}$=S${\;}_{△D{O}_{n}{E}_{n}}$，
故答案为=．

②∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=8，
∵∠DAB=60°，
∴△ADB和△BDC都是等边三角形，
∴∠DCO=30°，
在Rt△DOC中，∵∠DOC=90°，∠DCO=30°，
∴OD=$\frac{1}{2}$CD=4，OC=$\sqrt{C{D}^{2}-O{D}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
∴S_△DOC=$\frac{1}{2}$•OD•OC=$\frac{1}{2}$$•4•4\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$，
∵OE∥AD，OA=OC，
∴DE=EC，
∴S_△DOE=$\frac{1}{2}$S_△DOC=4$\sqrt{3}$，
∵OE∥AD，
∴$\frac{O{O}_{1}}{D{O}_{1}}$=$\frac{OE}{D{O}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，
∵O₁E₁∥OE，
∴△DO₁E₁∽△DOE，
∴$\frac{{S}_{△D{O}_{1}{E}_{1}}}{{S}_{△DOE}}$=（$\frac{2}{3}$）²=$\frac{4}{9}$，
∴${S}_{△D{O}_{1}{E}_{1}}$=$\frac{4}{9}$•4$\sqrt{3}$，
同理，${S}_{△D{O}_{2}{E}_{2}}$=$\frac{4}{9}$•${S}_{△D{O}_{1}{E}_{1}}$=（$\frac{4}{9}$）²•4$\sqrt{3}$，
…，
∴${S}_{△D{O}_{n}{E}_{n}}$=（$\frac{4}{9}$）ⁿ•4$\sqrt{3}$，
∴S${\;}_{△A{O}_{n}{E}_{n}}$=S${\;}_{△D{O}_{n}{E}_{n}}$=（$\frac{4}{9}$）ⁿ•4$\sqrt{3}$．
故答案为（$\frac{4}{9}$）ⁿ•4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查菱形的性质、平行线的性质、等边三角形的判定和性质、三角形的面积公式等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律，学会利用规律解决问题．