Question

3．已知抛物线y=x²+（1-2k）x-2k．
（1）求证：不论k为任何实数时，该抛物线与x轴总有交点；
（2）若抛物线y=x²+（1-2k）x-2k与x轴两个交点坐标分别为A（x₁，0），B（x₂，0），x₁＜x₂且AB=3，求k的值．

Answer 1

分析 （1）只要证明判别式△≥即可证得；
（2）利用一元二次方程根据的判别式，则|x₁-x₂|=3，据此列方程求解即可．

解答 解：（1）令y=0，则x²+（1-2k）x-2k=0，
△=（1-2k）²-4×1×（-2k）=4k²+4k+1=（2k+1）²≥0，
∴不论k为任何实数时，该抛物线与x轴总有交点；
（2）令y=0，则x²+（1-2k）x-2k=0，x₁+x₂=2k-1，x₁•x₂=-2k，
∵AB=|x₁-x₂|=3，
∴（x₁-x₂）²=9，
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=9，
∴（2k-1）²+8k=9，
解得k₁=1，k₂=-2．
则当k¹=1，k²=-2时，△＞0，符合题意，
∴k₁=1，k₂=-2．

点评 本题考查了二次函数与x轴的交点的判断，二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax²+bx+c=0根之间的关系．△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．