Question

14．如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，D、E分别为AB、AC边上的点，且$\frac{AD}{AE}$=$\frac{4}{5}$，连结DE，若AC=4，BC=3．求证：
（1）△ABC∽△AED； 
（2）DE⊥AB．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理得到AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5，于是得到$\frac{AC}{AB}$=$\frac{4}{5}$，推出$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AE}$，即可得到结论；
（2）根据相似三角形的性质得到∠ADE=∠C=90°，根据垂直的定义即可得到结论．

解答 证明：（1）∵∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{4}{5}$，
∵$\frac{AD}{AE}$=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AE}$，
∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△AED； 

（2）∵△ABC∽△AED，
∴∠ADE=∠C=90°，
∴DE⊥AB．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．