Question

已知∠B为△ABC的内角，且sinB与cosB恰好为方程mx²-mx+p-4=0的两根，以AB为直径的⊙O交AC于D，取BC的中点E，经过A、B、E的⊙O′交直线DE于F，如图，连接AF．
（1）求证：EF为⊙O的切线；
（2）求证：AD²=AF•AB；
（3）若⊙O的半径R=p，且AD：CD=2：3，求弦EF的长及tan∠ABF．

Answer 1

（1）证明：∵sinB与cosB是方程mx²-mx+p-4=0的两根，
∴sinB+cosB=1，
∴sin²B+2sinBcosB+cos²B=1，
又sin²B+cos²B=1，
故：sinBcosB=0，
由于∠B为三角形内角，
∴∠B≠0，
∴sinB≠0，
从而cosB=0，则∠B=90°；
连接OD、OE．如图
∵O、E分别为AB、BC的中点，
∴OE为△ABC的中位线，
则OE∥AC，
∴∠CAB=∠EOB，∠ADO=∠DOE，
由于：OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∴∠BOE=DOE，
在△BOE与△DOE中：，
∴△BOE≌△DOE，
∴∠OBE=∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，
∴EF为⊙O的切线；

（2）解：连接BD．
∵四边形A、B、E、F四点共圆，且∠ABE=90°，
∴∠ABE=∠AFE=90°，
由EF为⊙O的切线，
∴∠ABD=∠ADF，
又∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°=∠AFE，
∴△AFD∽△ADB，从而有AF：AD=AD：AB，
即有AD²=AF•AB；

（3）解：由于∠B=90°，
∴sinB=1，cosB=0，
∴sinB•cosB==0，
∵m≠0，p-4=0，
∴p=4，即R=4，
设AD=2x，则CD=3x，AC=5x，
在⊙O中，由切割线定理得：CD•CA=CB²，而CB²=AC²-AB²
∴3x•5x=（5x）²-8²
∴15x²=25x²-64，
解得：x=，
∴CB=4，
∴DE=CB=2，
且AD=2x=，又有AD²=AF•AB，
∴AF=（）²÷8=，则DF==，
∴EF=DE+DF=，
连接AE，则由圆周角性质可知：
tan∠ABF=tan∠AEF=AF：EF=．
分析：（1）由sinB与cosB恰好为方程mx²-mx+p-4=0的两根，sinB+cosB=1，而sin²B+cos²B=1，可得cosB=0，则∠B=90°；连接OD、OE，证明△BOE≌△DOE即可得∠OBE=∠ODE=90°；
（2）连接BD，由四边形A、B、E、F四点共圆，且∠ABE=90，得到∠ABE=∠AFE=90°，然后证明△AFD∽△ADB，从而有AF：AD=AD：AB，
（3）由sinB•cosB==0，得p=4，即R=4，设AD=2x，则CD=3x，AC=5x，根据CD•CA=CB²，而CB²=AC²-AB²，得x=，CB=4，DE=CB=2，又有AD²=AF•AB，即可求出AF，再由勾股定理得到DF，由此得到EF．连接AE，则tan∠ABF=tan∠AEF=AF：EF．
点评：本题考查了圆的切线的判定方法．经过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线．当已知直线过圆上一点，要证明它是圆的切线，则要连接圆心和这个点，证明这个连线与已知直线垂直即可；当没告诉直线过圆上一点，要证明它是圆的切线，则要过圆心作直线的垂线，证明垂线段等于圆的半径．同时考查了三角函数、三角形相似的判定和性质以及圆的切割线定理．