Question

5．如图，⊙O的内接正方形ABCD，E为边CD上一点，且DE=CE，延长BE交⊙O于F，连结FC，若正方形边长为1，则弦FC的长为$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

Answer 1

分析 连接BD，构造△DBE，然后证出△DBE∽△FCE，列出比例式计算FC即可．

解答 解：连接BD，
∵CE=$\frac{1}{2}$×1=$\frac{1}{2}$，
∴BE=$\sqrt{{（\frac{1}{2}）}^{2}+1}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
在Rt△ABD中，BD=$\sqrt{{1}^{2}{+1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∵∠DBE=∠FCE，∠CFE=∠BDE，
∴△DEB∽△FEC，
∴$\frac{FC}{BD}$=$\frac{CE}{BE}$，
∴$\frac{FC}{\sqrt{2}}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{5}}{2}}$，
∴FC=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查了正多边形和圆，相似三角形的判定和性质，作出适当辅助线，得到相似三角形是解题的关键．