Question

【题目】已知圆是等边的外接圆，延长至，使，连交圆于，点在边上，且，延长至交于．

（1）求证：；

（2）求证：是圆的切线；

（3）求的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）2

【解析】

（1）根据等边三角形的性质可得AC＝BC，∠ACB＝∠BAC＝∠ABC＝60°，根据作等量代换进而可得，再结合∠BAC＝60°即可得证；

（2）过作交的延长线于点，连接，OA，先证≌，可得，进而根据等腰三角形的三线合一可得，再证得即可得证；

（3）连接，先证明，再根据可得，进而可得答案．

（1）证明：是等边三角形，

∴AC＝BC，∠ACB＝∠BAC＝∠ABC＝60°，

∵，

，

，

，

，

∴；

（2）证明：如图，过作交的延长线于点，连接，OA，

是的中点，

∴由三角形中位线的性质知，

∵，，

∴≌，

∴，

又∵，

∴，CF⊥，

∵∠ABC＝60°，

∴∠AOC＝2∠ABC＝120°，

∵OA＝OC，

∴，

∴，

∴，

∴是圆的切线；

（3）如图，连接，

∵∠ABC＋∠AGC＝180°，∠CGF＋∠AGC＝180°，

∴，

∵CF⊥，

∴∠CFG＝90°，

∴

∵，

∴，，

∴，

∴，

在Rt△CGF中，，

∴，

∴