Question

19．如图，在△OAB中，AO=AB，S_△AOB=10，函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）图象与OA交于点C，点D是函数y=$\frac{4}{x}$（x＞0）的图象上一点，且CD∥x轴，若∠ADC=90°，则k的值是$\frac{8}{5}$．

Answer 1

分析 过点C作CE⊥x轴于点E，延长AD，交x轴于点F，连接OD，由等腰三角形的性质可得出S_△AOF=$\frac{1}{2}$S_△AOB=5，利用反比例函数系数k的几何意义可得出S_△OCE=$\frac{1}{2}$k、S_△ODF=$\frac{1}{2}$×4=2，再由△ODF和△OAF等高可得出$\frac{DF}{AF}$=$\frac{2}{5}$，利用相似三角形的判定与性质可得出S_△OCE的值，进而即可求出k值，此题得解．

解答 解：过点C作CE⊥x轴于点E，延长AD，交x轴于点F，连接OD，如图所示．
∵AO=AB，CD∥x轴，∠ADC=90°，
∴AF⊥OB，
∴S_△AOF=$\frac{1}{2}$S_△AOB=5．
∵函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）图象与OA交于点C，点D是函数y=$\frac{4}{x}$（x＞0）的图象上一点，
∴S_△OCE=$\frac{1}{2}$k，S_△ODF=$\frac{1}{2}$×4=2，
∴$\frac{DF}{AF}$=$\frac{{S}_{△ODF}}{{S}_{△AOF}}$=$\frac{2}{5}$．
∵CE⊥x轴，AF⊥x轴，CD∥x轴，
∴△OCE∽△OAF，CE=DF，
∴$\frac{{S}_{OCE}}{{S}_{△AOF}}$=$（\frac{DF}{AF}）^{2}$，
∴S_△OCE=$\frac{1}{2}$k=（$\frac{2}{5}$）²×5=$\frac{4}{5}$，
∴k=$\frac{8}{5}$．
故答案为：$\frac{8}{5}$．

点评 本题考查了反比例函数系数k的几何意义、等腰三角形的性质以及相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质求出S_△OCE的值是解题的关键．