Question

（2012•宁德）如图，点M是反比例函数y=

1

x

在第一象限内图象上的点，作MB⊥x轴于B．过点M的第一条直线交y轴于点A₁，交反比例函数图象于点C₁，且A₁C₁=

1

2

A₁M，△A₁C₁B的面积记为S₁；过点M的第二条直线交y轴于点A₂，交反比例函数图象于点C₂，且A₂C₂=

1

4

A₂M，△A₂C₂B的面积记为S₂；过点M的第三条直线交y轴于点A₃，交反比例函数图象于点C₃，且A₃C₃=

1

8

A₃M，△A₃C₃B的面积记为S₃；以此类推…；则S₁+S₂+S₃+…+S₈=

255

512

．

Answer 1

分析：根据点M是反比例函数y=

1

x

在第一象限内图象上的点，即可得出S△A1BM=

1

2

OB×MB=

1

2

，再利用C₁到BM的距离为A₁到BM的距离的一半，得出S₁=S△BMC1=

1

2

S△A1BM=

1

4

，同理即可得出S₂=S△A2C2B=

1

4

S△BMA2=

1

8

，S₃=

1

16

，S₄=

1

32

…进而求出S₁+S₂+S₃+…+S₈的值即可．

解答：解：过点M作MD⊥y轴于点D，过点A₁作A₁E⊥BM于点E，过点C₁作C₁F⊥BM于点F，
∵点M是反比例函数y=

1

x

在第一象限内图象上的点，
∴OB×BM=1，
∴S△A1BM=

1

2

OB×MB=

1

2

，
∵A₁C₁=

1

2

A₁M，即C₁为A₁M中点，
∴C₁到BM的距离C₁F为A₁到BM的距离A₁E的一半，
∴S₁=S△BMC1=

1

2

S△A1BM=

1

4

，
∴S△BMA2=

1

2

BM•A₂到BM距离=

1

2

×BM×BO=

1

2

，
∵A₂C₂=

1

4

A₂M，
∴C₂到BM的距离为A₂到BM的距离的

3

4

，
∴S₂=S△A2C2B=

1

4

S△BMA2=

1

8

，
同理可得：S₃=

1

16

，S₄=

1

32

…
∴

1

4

+

1

8

+…+

1

28

+

1

29

，
=

1

4

+

1

8

+…+

1

256

+

1

512

，
=

255

512

，
故答案为：

255

512

．

点评：此题主要考查了反比例函数的综合应用以及三角形面积关系，根据同底三角形对应高的关系得出面积关系是解题关键．