Question

5．如图，平面直角坐标系中，点A、B、C坐标分别是（0，12）、（24，0）、（0，-6），点P从点C出发（不含点C），沿y轴正半轴运动，点Q从点B与点P同时出发，当点Q运动到原点O时，P、Q停止运动，过点Q作QD⊥x轴交AB于D，连接PD，设运动时间为t个单位/秒，P、Q运动速度均为2个单位/秒．

（1）当∠PDQ=90°时，求t的值；
（2）求在运动过程中，△PDQ与△AOB的重叠部分面积S与运动时间t的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）根据当∠PDQ=90°时，四边形POQD为矩形，再由矩形的性质解答即可；
（2）从0＜t≤3、3＜t≤9和9＜t≤12三个时间段进行分析，求出重叠部分三角形的高，根据三角形面积公式计算即可．

解答 解：（1）∵QD⊥x轴，
∴DQ∥AO，
∴$\frac{DQ}{AO}$=$\frac{BQ}{BO}$，即$\frac{DQ}{12}$=$\frac{2t}{24}$，
解得DQ=t，
当∠PDQ=90°时，四边形POQD为矩形，
则DQ=OP，即t=2t-6，
解得t=6；
（2）当0＜t≤3时，
∵DQ∥OP，
∴$\frac{DQ}{OP}$=$\frac{QE}{EO}$，即$\frac{t}{6-2t}$=$\frac{QE}{24-2t-QE}$，
解得，QE=$\frac{24t-2{t}^{2}}{6-t}$，
则S=$\frac{1}{2}$×$\frac{24t-2{t}^{2}}{6-t}$×t=$\frac{12{t}^{2}-{t}^{3}}{6-t}$；
当3＜t≤9时，
S=$\frac{1}{2}$×（24-2t）×t=12t-t²；
当9＜t≤12时，
∵DQ∥OP，
∴$\frac{DQ}{PA}$=$\frac{DF}{FA}$=$\frac{QG}{GO}$，
∴$\frac{t}{2t-18}$=$\frac{QG}{24-2t-QG}$，
解得QE=$\frac{24t-{t}^{2}}{3t-18}$，
则S=$\frac{1}{2}$×$\frac{24t-{t}^{2}}{3t-18}$×t=$\frac{12{t}^{2}-{t}^{3}}{3t-18}$．

点评 本题考查的是一次函数知识的综合运用、相似三角形的性质，掌握相似扇形的对应边成比例、用运动的观点思考问题是解题的关键．