Question

2．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，sin∠CAB=$\frac{4}{5}$，D是斜边AB上一点，过点A作AE⊥CD，垂足为E，AE的延长线交BC于点F．
（1）当tan∠BCD=$\frac{1}{2}$时，求线段BF的长；
（2）当BF=$\frac{5}{4}$时，求线段AD的长．

Answer 1

分析 （1）由题意先求出AC，BC的长，由AE⊥CD和∠ACB=90°，证明出∠CAF=∠BCD，再由tan∠BCD=$\frac{1}{2}$，可知tan∠CAF=tan∠BCD=$\frac{1}{2}$，求得CF，从而求得线段BF的长；
（2）分两种情况：①当点F在线段BC上时，根据tan∠CAF=tan∠BCD，得$\frac{CF}{AC}$=$\frac{BG}{BC}$，求出BG，由BG∥AC得$\frac{BG}{AC}=\frac{BD}{AD}$即可解决问题．②当点F在CB延长线上时，方法类似①．

解答 解：（1）在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，sin∠CAB=$\frac{4}{5}$，
∴BC=4，AC=3，（1分）
∵AE⊥CD，∠ACB=90°，
∴∠BCD+∠AFC=90°，∠AFC+∠CAF=90°，
∴∠CAF=∠BCD（2分）
∴tan∠CAF=tan∠BCD=$\frac{1}{2}$，
又∵∠ACB=90°，AC=3
∴CF=$\frac{3}{2}$，BF=$\frac{5}{2}$
（2）①如图1中，当点F在线段BC上时，过点B作BG∥AC，交CD延长线于点G，
∵tan∠CAF=tan∠BCD，
∴$\frac{CF}{AC}$=$\frac{BG}{BC}$，即$\frac{4-BF}{3}$=$\frac{BG}{BC}$，
∴BG=$\frac{11}{3}$
∵BG∥AC
∴$\frac{BG}{AC}=\frac{BD}{AD}$，即$\frac{BG}{3}$=$\frac{5-AD}{AD}$
∴AD=$\frac{9}{4}$．
②如图2中，当点F在CB延长线上时，过点B作BG∥AC，交CD延长线于点G，
∵tan∠CAF=tan∠BCD，
∴$\frac{CF}{AC}$=$\frac{BG}{BC}$，即$\frac{4+BF}{3}$=$\frac{BG}{BC}$，
∴BG=7，
∵BG∥AC
∴$\frac{BG}{AC}=\frac{BD}{AD}$，即$\frac{BG}{3}$=$\frac{5-AD}{AD}$
∴AD=$\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查了三角函数的应用、平行线分线段成比例定理，用到了分类讨论的思想，转化为方程去思考是解题的关键，是一道综合题，难度大．