Question

5．如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段BC的延长线上，连接AE交CD于点F，∠AED=2∠AEB，点G是AF的中点．若CE=1，AG=3，则AB的长为2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AG=DG，然后根据等边对等角的性质可得∠ADG=∠DAG，再结合两直线平行，内错角相等可得∠ADG=∠AEB，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠DGE=2∠ADG，从而得到∠DEG=∠DGE，再利用等角对等边的性质得到DE=DG，然后利用勾股定理列式计算即可得解．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，点G是DF的中点，
∴AG=DG，
∴∠ADG=∠DAG，
∵AD∥BC，
∴∠ADG=∠AEB，
∴∠DGE=∠ADG+∠DAG=2∠AEB，
∵∠AED=2∠AEB，
∴∠DEG=∠DGE，
∴DE=DG=AG=3，
在Rt△CDE中，CD=$\sqrt{{3}^{2}-{1}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
∴AB=CD=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了矩形的性质，等边对等角的性质，等角对等边的性质，以及勾股定理的应用，求出DE=AG是解题的关键．