题目内容
【题目】已知△ABC是等边三角形，点P在射线AC上（点P与点A、点C不重合），点D在线段BC的延长线上，且AP＝CD，△PCD′与△PCD关于直线AC对称．
（1）如图1，当点P在线段AC上时，
①求证：PB＝PD；
②请求出∠BPD′的度数；
（2）当点P在射线AC上运动时，请直接回答：
①PB＝PD是否仍然成立？
②∠BPD′的度数是否发生变化？
（3）将△PCD′绕点P顺时针旋转，在旋转的过程中，PD′与PB能否重合？若能重合，请直接写出旋转的角度；若不能重合，请说明理由；
（4）若AB＝4，当点P为AC边的中点时，请直接写出PD'的长
【答案】（1）①见解析；②60°；（2）①成立，理由见解析；②∠BPD′的度数不发生变化，理由见解析；（3）PD′与PB能重合，旋转的角度为60°；（4）PD'＝2
【解析】
（1）①过点P作PE∥BC交AB于E，易证△APE是等边三角形，得AP＝PE，BE＝PC，∠BEP＝∠PCD，从而得：△BPE≌△PDC，即可得到结论；②由△BPE≌△PDC，得∠PBE＝∠DPC，进而得∠PBE＝∠D'PC，由∠BPC＝∠A+∠PBE＝60°+∠D'PC，即可得到结论；
（2）①过点P作PE∥BC交AB的延长线于E，易证△APE是等边三角形，得AP＝PE，BE＝PC，∠BEP＝∠PCD＝60°，得△BPE≌△PDC（SAS），即可得到结论；②由△BPE≌△PDC，得∠PBE＝∠DPC，进而得∠PBE＝∠D'PC，即可得到结论.
（3）由（1）（2）知，∠BPD'＝60°，PB＝PD＝PD'，即可得到结论；
（4）由△ABC是等边三角形，点P是AC的中点，得AP＝2，BP⊥AC，根据勾股定理得BP的值，进而即可得到答案.
（1）①∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
过点P作PE∥BC交AB于E，如图1，
∴∠AEP＝∠ABC＝60°，∠APE＝∠ACB＝60°，
∴∠AEP＝∠APE＝∠A＝60°，
∴△APE是等边三角形，
∴AP＝PE，
∴AB﹣AE＝AC﹣AP，
∴BE＝PC，
∵AP＝CD，
∴PE＝CD，
∵∠BEP＝180°﹣∠AEP＝120°，∠PCD＝180°﹣∠ACB＝120°，
∴∠BEP＝∠PCD，
∴△BPE≌△PDC（SAS），
∴PB＝PD；
②由①知，△BPE≌△PDC，
∴∠PBE＝∠DPC，
∵△PCD′与△PCD关于直线AC对称，
∴∠DPC＝∠D'PC，
∴∠PBE＝∠D'PC，
∵∠BPC＝∠A+∠PBE＝60°+∠D'PC，
∴∠BPD'＝∠BPC﹣∠D'PC＝60°；
（2）①PB＝PD仍然成立，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠DCP＝60°
过点P作PE∥BC交AB的延长线于E，如图2，
∴∠AEP＝∠ABC＝60°，∠APE＝∠ACB＝60°，
∴∠AEP＝∠APE＝∠A＝60°，
∴△APE是等边三角形，
∴AP＝PE，
∴AE﹣AB＝AP﹣AC，
∴BE＝PC，
∵AP＝CD，
∴PE＝CD，
∵∠BEP＝∠PCD＝60°
∴△BPE≌△PDC（SAS），
∴PB＝PD；
②∠BPD′的度数不发生变化，理由如下：
由①知，△BPE≌△PDC，
∴∠PBE＝∠DPC，
∵△PCD′与△PCD关于直线AC对称，
∴∠DPC＝∠D'PC，
∴∠PBE＝∠D'PC，
∴∠BPD'＝∠D'PC﹣∠BPC＝∠PBE﹣∠BPC
＝∠PBE﹣（∠APE﹣∠BPE）
＝∠PBE﹣（60°﹣∠BPE）
＝∠PBE+∠BPE﹣60°
＝180°﹣∠AEP﹣60°
＝180°﹣60°﹣60°
＝60°；
（3）∵由（1）（2）知，∠BPD'＝60°，PB＝PD＝PD'，
∴将△PCD′绕点P顺时针旋转，在旋转的过程中，PD′与PB能重合，
∴旋转的角度为60°；
（4）如图3，由（1）知，BP＝PD，由对称得，PD＝PD'，
∴BP＝PD'，
∵△ABC是等边三角形，点P是AC的中点，
∴AP＝
AC＝AB＝2，BP⊥AC，
∴∠APB＝90°，
在Rt△ABP中，根据勾股定理得，BP＝
，
∴PD'＝2．
