Question

【题目】如图，顶点为的二次函数图象与x轴交于点，点B在该图象上，交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接、．

（1）求该二次函数的关系式．

（2）若点B在对称轴l右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：

①连接，当时，请判断的形状，并求出此时点B的坐标．

②求证：．

Answer 1

【答案】（1）二次函数的关系式为；（2）①是等腰直角三角形，此时点B坐标为；②见解析

【解析】

（1）利用待定系数法即可得到答案；

（2）①设，由点的对称性得到，再由勾股定理得到答案；②设直线与x轴交于点D，求得直线解析式，再结合题意即可得到答案.

解：（1）∵二次函数顶点为

∴设顶点式

∵二次函数图象过点

∴，解得：

∴二次函数的关系式为

（2）设

∴直线解析式为：

∵交对称轴l于点M

∴当时，

∴

∵点M、N关于点P对称

∴，

∴，即

①∵

∴

∴

解得：

∴

∴，

∴，，B

∴，

∴是等腰直角三角形，此时点B坐标为．

②证明：如图，设直线与x轴交于点D

∵、

设直线解析式为

∴ 解得：

∴直线：

当时，，解得：

∴

∵，轴

∴垂直平分

∴

∴