Question

9．如图所示，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上的一点，AE⊥EF，下列结论：①∠BAE=30°；②CE²=AB•CF；③CF=FD；④△ABE∽△AEF．其中正确的有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 由正方形的性质和三角函数得出∠BAE＜30°，①不正确；由题中条件可得△CEF∽△BAE，进而得出对应线段成比例，得出②正确，CF=$\frac{1}{3}$FD，③不正确；进而又可得出△ABE∽△AEF，得出④正确，即可得出题中结论．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CAD，∠B=∠C=∠D=90°，
∵E是BC的中点，
∴BE=CE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AB，
∵AE＞AB，
∴sin∠BAE=$\frac{BE}{AE}$＜$\frac{1}{2}$，
∴∠BAE＜30°，①不正确；
∵AE⊥EF，∴∠BAE=∠CEF，
∴△CEF∽△BAE，
∴$\frac{CE}{AB}=\frac{CF}{BE}$=$\frac{CF}{BE}$=$\frac{1}{2}$，
∴CE•BE=AB•CF，CF=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{1}{4}$CD，
∵BE=CE，CF=$\frac{1}{3}$FD，
∴CE²=AB•CF，②正确，③不正确；
由△CEF∽△BAE可得$\frac{CE}{CF}=\frac{AB}{BE}$，
∴∠EAF=∠BAE的正切值相同，
∴∠EAF=∠BAE，
又∠B=∠C=90°．
∴△ABE∽△AEF，
∴④正确；
正确的有2个，
故选：B．

点评 本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定及性质、三角函数；熟练掌握正方形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．