Question

17．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点D是以点A为圆心4为半径的圆上一点，连接BD，点M为BD中点，线段CM长度的最大值为7．

Answer 1

分析 作AB的中点E，连接EM、CE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得CE和EM的长，然后在△CEM中根据三边关系即可求解．

解答 解：作AB的中点E，连接EM、CE．
在直角△ABC中，AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵E是直角△ABC斜边AB上的中点，
∴CE=$\frac{1}{2}$AB=5．
∵M是BD的中点，E是AB的中点，
∴ME=$\frac{1}{2}$AD=2．
∴在△CEM中，5-2≤CM≤5+2，即2≤CM≤7．
∴最大值为7，
故答案为：7．

点评 本题考查了点与圆的位置关系、三角形的中位线定理的知识，要结合勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．