Question

4．在矩形ABCD中，E为CD的中点，H为BE上的一点，$\frac{EH}{BH}=3$，连接CH并延长交AB于点G，连接GE并延长交AD的延长线于点F．
（1）求证：$\frac{EC}{BG}=\frac{EH}{BH}$；
（2）若∠CGF=90°，求$\frac{AB}{BC}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据相似三角形判定的方法，判断出△CEH∽△GBH，即可推得$\frac{EC}{BG}=\frac{EH}{BH}$．
（2）作EM⊥AB于M，则EM=BC=AD，AM=DE，设DE=CE=3a，则AB=CD=6a，由（1）得：$\frac{EC}{BG}=\frac{EH}{BH}$=3，得出BG=$\frac{1}{3}$CE=a，AG=5a，证明△DEF∽△GEC，由相似三角形的性质得出EG•EF=DE•EC，由平行线证出$\frac{EF}{EG}=\frac{3}{2}$，得出EF=$\frac{3}{2}$EG，求出EG=$\sqrt{6}$a，在Rt△EMG中，GM=2a，由勾股定理求出BC=EM=$\sqrt{2}$a，即可得出结果．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD∥AB，AD=BC，AB=CD，AD∥BC，
∴△CEH∽△GBH，
∴$\frac{EC}{BG}=\frac{EH}{BH}$．
（2）解：作EM⊥AB于M，如图所示：
则EM=BC=AD，AM=DE，
∵E为CD的中点，
∴DE=CE，
设DE=CE=3a，则AB=CD=6a，
由（1）得：$\frac{EC}{BG}=\frac{EH}{BH}$=3，
∴BG=$\frac{1}{3}$CE=a，
∴AG=5a，
∵∠EDF=90°=∠CGF，∠DEF=∠GEC，
∴△DEF∽△GEC，
∴$\frac{DE}{EG}=\frac{EF}{EC}$，
∴EG•EF=DE•EC，
∵CD∥AB，
∴$\frac{EF}{FG}=\frac{DE}{AG}$=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{EF}{EG}=\frac{3}{2}$，
∴EF=$\frac{3}{2}$EG，
∴EG•$\frac{3}{2}$EG=3a•3a，
解得：EG=$\sqrt{6}$a，
在Rt△EMG中，GM=2a，
∴EM=$\sqrt{E{G}^{2}-G{M}^{2}}$=$\sqrt{2}$a，
∴BC=$\sqrt{2}$a，
∴$\frac{AB}{BC}$=$\frac{6a}{\sqrt{2}a}$=3$\sqrt{2}$．

点评 此题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．