Question

5．下面再介绍一种证明勾股定理的方法：如图，正方形ABCD、BFGI的边长分别为b、a，点A，B，F在一条直线上，在BF上取一点E．使AE=a．连结DE、GE，延长BI至H，使CH=a，连接DH，GH，由此就可以证明勾股定理，请你试一试．

Answer 1

分析 根据正方形的性质证△ADE≌△FEG≌△IHG≌△CDH，即可得四边形DEGH为正方形，记边长为c，再根据S_△ADE+S_△GEF+S_{正方形DEGH}=S_{正方形ABCD}+S_{正方形BFGI}+S_△CDH+S_△IHG列式整理即可得．

解答 证明：∵正方形ABCD、BFGI的边长分别为b、a，
∴AB=BC=CD=DA=b，BF=FG=GI=IB=a，∠A=∠F=∠HIG=∠DCH=90°，
∵AE=a，CH=a，
∴EF=AB+BF-AE=b+a-a=b，HI=BC+CH-BI=b+a-a=b，
∴AD=FE=IH=CD=b，AE=FG=GI=CH=a，
则△ADE≌△FEG≌△IHG≌△CDH（SAS），
∴DE=EG=HG=DH，∠GEF=∠EDA，
又∵∠EDA+∠DEA=90°，
∴∠GEF+∠DEA=90°，即∠DEG=90°，
∴四边形DEGH为正方形，记边长为c，
∵S_△ADE+S_△GEF+S_{正方形DEGH}=S_{正方形ABCD}+S_{正方形BFGI}+S_△CDH+S_△IHG，
∴$\frac{1}{2}$ab×2+c²=b²+a²+$\frac{1}{2}$ab×2，
即c²=b²+a²．

点评 本题主要考查勾股定理的证明及正方形的性质、全等三角形的判定与性质，观察图形利用两种方法表示出图形的面积是解题的关键．