Question

18．如图，将Rt△ABC绕直角顶点A逆时针旋转90°得到△ADE，BC的延长线交DE于F，连接BD，若BC=2EF，试证明△BED是等腰三角形．

Answer 1

分析 根据直角三角形的两锐角互余，以及对顶角相等，旋转的性质，即可证得BF是DE的垂直平分线，据此即可证得．

解答 证明：∵将Rt△ABC绕直角顶点A逆时针旋转90°得到△ADE，
∴DE=BC，∠ADF=∠ABC，
∵BC=2EF，
∴DF=EF，
∴DE=2EF，
∵在直角△ABC中，∠ABC+∠ACB=90°，
又∵∠ABC=∠ADE，
∴∠ACB+∠ADE=90°．
∵∠FCD=∠ACB，
∴∠FCD+∠ADE=90°，
∴∠CFD=90°，
∴BF⊥DE，
∵EF=FD，
∴BF垂直平分DE，
∴BD=BE，
∴△BDE是等腰三角形．

点评 本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的判定和性质，熟练掌握各定理是解题的关键．