Question

6．如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于点E，∠EDC：∠EDA=1：3，且AC=12，则DE的长度是3$\sqrt{2}$（结果用根号表示）．

Answer 1

分析 根据∠EDC：∠EDA=1：3，可得△CDE∽△ADE，再由AC=12，求得DE．

解答 解：连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，AC=BD=12，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=6，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD=6，
∴OC=OD，
∴∠ODC=∠OCD，
∵∠EDC：∠EDA=1：3，∠EDC+∠EDA=90°，
∴∠EDC=22.5°，∠EDA=67.5°，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90°，
∴∠DCE=90°-∠EDC=67.5°，
∴∠ODC=∠OCD=67.5°，
∴∠ODC+∠OCD+∠DOC=180°，
∴∠COD=45°，
∴OE=DE，
∵OE²+DE²=OD²，
∴2（DE）²=OD²=36，
∴DE=3$\sqrt{2}$，
故答案为：3$\sqrt{2}$．

点评 此题主要考查了相似三角形的判定和矩形的性质，根据已知得出OE²+DE²=OD²是解题关键．