Question

5．有三张正面分别写有数字-1，1，2的卡片，它们的背面完全相同，将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为x的值，放回卡片洗匀，再从三张卡片中随机抽取一张，以其正面的数字作为y的值，两次结果记为（x，y）．
（1）用树状图或列表法表示（x，y）所有可能出现的结果；
（2）求使分式$\frac{{{x^2}+3xy}}{{{x^2}-{y^2}}}-\frac{y}{x+y}$有意义的（x，y）出现的概率；
（3）化简分式$\frac{{{x^2}+3xy}}{{{x^2}-{y^2}}}-\frac{y}{x+y}$，并求使分式的值为整数的（x，y）出现的概率．

Answer 1

分析 （1）列表得出所有等可能的情况数即可；
（2）找出x与y不相等且不互为相反数的即为使分式有意义的情况数，即可求出所求的概率；
（3）将所求x与y的值代入计算，找出使结果为整数的情况数，即可求出所求的概率．

解答 解：（1）列表如下：

	-1	1	2
-1	（-1，-1）	（-1，1）	（-1，2）
1	（1，-1）	（1，1）	（1，2）
2	（2，-1）	（2，1）	（2，2）

得到所有等可能的情况有9种；

（2）使分式有意义的情况为：（-1，2），（1，2），（2，-1），（2，1）共4种，
则P_{分式有意义}=$\frac{4}{9}$；

（3）∵$\frac{{{x^2}+3xy}}{{{x^2}-{y^2}}}-\frac{y}{x+y}$
=$\frac{x（x+3y）}{（x-y）（x+y）}$-$\frac{y（x-y）}{（x-y）（x+y）}$
=$\frac{{x}^{2}+3xy-xy+{y}^{2}}{（x-y）（x+y）}$
=$\frac{（x+1）^{2}}{（x-y）（x+y）}$
=$\frac{x+y}{x-y}$，
能使分式值为整数的（x，y）仅有（1，2），（2，1），2对，
∴P分式的值为整数=$\frac{2}{9}$．

点评 此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．