题目内容

把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的矩形，接着把面积为的矩形等分成两个面积为的矩形，再把面积为的矩形等分成两个面积为的矩形，如此进行下去．试利用图形揭示的规律计算：＋＋＋＋＋＋＋＝________．

答案：
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如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为
1
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的矩形，接着把面积为
1
2
的矩形等分成两个面积为
1
4
的矩形精英家教网，再把面积为
1
4
的矩形等分成两个面积为
1
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的矩形，如此进行下去．试利用图形揭示的规律计算：
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+
1
32
+
1
64
+
1
128
+
1
256
=
 
．
（2012•闵行区二模）如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为
1
2
的矩形，接着把其中一个面积为
1
2
的矩形等分成两个面积为
1
4
的矩形，再把其中一个面积为
1
4
的矩形等分成两个面积为
1
8
的矩形，如此进行下去，试利用图形所揭示的规律计算：1+
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+
1
32
+
1
64
+
1
128
+
1
256
=
511
256
511
256
．
小明想计算出
1
2
+
1
22
+
1
23
+
1
24
+
1
25
+
1
26
+
1
27
的结果，于是设计出下列几何图形，把一个面积为2的正方形等分成两个面积为
1
2
的矩形，接着把面积为矩形等分成两个面积为
1
22
的矩形，再把面积为
1
22
的矩形等分成两个面积为
1
23
的矩形，如此进行下去，是利用图形揭示的规律计算并说出你计算时所用的数学思想：
1
2
+
1
22
+
1
23
+
1
24
+
1
25
+
1
26
+
1
27
．
把一个面积为1的正方形等分成两个面积为
1
2
的长方形，再把其中一个面积为
1
2
的长方形等分成两个面积为
1
4
的正方形，再把其中一个面积为
1
4
的正方形等分成两个面积为
1
8
的长方形，如此继续等分下去，请自己动手操作探究，然后观察这个图形，试利用图形所揭示的规律
（1）计算：
1
2
+
1
22
+
1
23
+
1
24
+…+
1
28
；
（2）猜想：
1
2
+
1
22
+
1
23
+
1
24
+…+
1
2n
的结果．
如图所示，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为
1
2
的长方形，接着再把面积为
1
2
的长方形分成两个面积为
1
4
的长方形，再把面积为
1
4
的长方形分成两个面积为
1
8
的长方形，如此进行下去．
（1）第7次等分所得的一个长方形面积是多少？
（2）试利用图形揭示的规律计算：
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+
1
32
+
1
64
+…+
1
128
．

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