Question

如图所示，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为

1

2

的长方形，接着再把面积为

1

2

的长方形分成两个面积为

1

4

的长方形，再把面积为

1

4

的长方形分成两个面积为

1

8

的长方形，如此进行下去．
（1）第7次等分所得的一个长方形面积是多少？
（2）试利用图形揭示的规律计算：

1

2

+

1

4

+

1

8

+

1

16

+

1

32

+

1

64

+…+

1

128

．

Answer 1

分析：（1）根据题意得到第1次等分所得的一个长方形面积=（

1

2

）¹，第2次等分所得的一个长方形面积=

1

4

=（

1

2

）²，第2次等分所得的一个长方形面积=

1

8

=（

1

2

）³，则
第n次等分所得的一个长方形面积=（

1

2

）ⁿ，然后把n=7代入计算即可；
（2）根据图形揭示的规律，把一个面积为1的正方形分7次得到的面积为

1

2

+

1

4

+

1

8

+

1

16

+

1

32

+

1

64

+…+

1

128

+

1

128

，则

1

2

+

1

4

+

1

8

+

1

16

+

1

32

+

1

64

+…+

1

128

=1-

1

128

，然后通分计算即可．

解答：解：∵第1次等分所得的一个长方形面积=（

1

2

）¹，
第2次等分所得的一个长方形面积=

1

4

=（

1

2

）²，
第2次等分所得的一个长方形面积=

1

8

=（

1

2

）³，
∴第7次等分所得的一个长方形面积=（

1

2

）⁷=

1

128

；

（2）

1

2

+

1

4

+

1

8

+

1

16

+

1

32

+

1

64

+…+

1

128

=1-

1

128

=

127

128

．

点评：本题考查了规律型：数字的变化类：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法．