Question

把一个面积为1的正方形等分成两个面积为

1

2

的长方形，再把其中一个面积为

1

2

的长方形等分成两个面积为

1

4

的正方形，再把其中一个面积为

1

4

的正方形等分成两个面积为

1

8

的长方形，如此继续等分下去，请自己动手操作探究，然后观察这个图形，试利用图形所揭示的规律
（1）计算：

1

2

+

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

28

；
（2）猜想：

1

2

+

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n

的结果．

Answer 1

分析：（1）根据剩余面积为最后一次分割的面积，故利用正方形面积去掉最后一次分割后面积即可得出答案；
（2）根据剩余面积为最后一次分割的面积，故利用正方形面积去掉最后一次分割后面积即可得出答案．

解答：解：根据把一个面积为1的正方形等分成两个面积为

1

2

的长方形，
再把其中一个面积为

1

2

的长方形等分成两个面积为

1

4

的正方形，
再把其中一个面积为

1

4

的正方形等分成两个面积为

1

8

的长方形，
则剩余面积为最后一次分割的面积，故利用正方形面积去掉最后一次分割后面积即可得出答案；
（1）

1

2

+

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

28

；
=1-

1

28

；

（2）

1

2

+

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n

，
=1-

1

2n

．

点评：本题主要考查了规律性和分式的加法运算，利用图象面积之间的关系得出规律是解题关键．