Question

17．如图，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴相交于点C，顶点为D．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点F，设点P的横坐标为m，△BCF的面积为S，求S与m间的函数关系式；
（3）在（2）中是否存在点P，使得四边形DEPF是平行四边形？若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）直接利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）可将三角形BCF分成两部分来求：一部分是三角形PFC，以PF为底边，以P的横坐标为高即可得出三角形PFC的面积．一部分是三角形PFB，以PF为底边，以P、B两点的横坐标差的绝对值为高，即可求出三角形PFB的面积．然后根据三角形BCF的面积=三角形PFC的面积+三角形PFB的面积，可求出关于S、m的函数关系式；
（3）PF的长就是当x=m时，根据直线BC的解析式，可得出E点的坐标，根据抛物线的解析式可求出D点的坐标，然后根据坐标系中两点的距离公式，可求出DE的长，然后让PF=DE，即可求出此时m的值．

解答 解：（1）∵抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1-b+c=0}\\{-9+3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
故抛物线解析式为：y=-x²+2x+3；

（2）设直线BC的函数关系式为：y=kx+b（k≠0）．
把B（3，0），C（0，3）分别代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=3}\end{array}\right.$．
所以直线BC的函数关系式为：y=-x+3．
如图1，设直线PF与x轴交于点M，由B（3，0），O（0，0），可得：OB=OM+MB=3．
当x=1时，y=-1+3=2，
∴E（1，2）．
当x=m时，y=-m+3，
∴P（m，-m+3）．
在y=-x²+2x+3中，当x=1时，y=4．
∴D（1，4）
当x=m时，y=-m²+2m+3，
∴F（m，-m²+2m+3）
∴线段DE=4-2=2，
线段PF=-m²+2m+3-（-m+3）=-m²+3m
∴S=S_△BCF=S_△BPF+S_△CPF=$\frac{1}{2}$FP×MO+$\frac{1}{2}$PF×BM=$\frac{1}{2}$（-m²+3m）×3=-$\frac{3}{2}$m²+$\frac{9}{2}$m．
m的变化范围是：0≤m≤3．

（3）如图2，在（2）中存在点P，使得四边形DEPF是平行四边形．
∵线段DE=4-2=2，
线段PF=-m²+2m+3-（-m+3）=-m²+3m
∵PF∥DE，
∴当PF=ED时，四边形PEDF为平行四边形．
由-m²+3m=2，解得：m₁=2，m₂=1（不合题意，舍去）．
因此，当m=2时，四边形PEDF为平行四边形．

点评 本题主要考查了二次函数的综合应用，根据二次函数得出相关点的坐标和对称轴的解析式是解题的基础．