Question

20．在平面直角坐标系xOy中，过点（0，2）且平行于x轴的直线，与直线y=x-1交于点A，点A关于直线x=1的对称点为B，抛物线C₁：y=x²+bx+c经过点A，B．
（1）求点A，B的坐标；
（2）求抛物线C₁的表达式及顶点坐标；
（3）若抛物线C₂：y=ax²（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当y=2时，则2=x-1，解得x=3，确定A（3，2），根据AB关于x=1对称，所以B（-1，2）．
（2）把（3，2），（-1，2）代入抛物线C₁：y=x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{2=9+3b+c}\\{2=1-b+c}\end{array}\right.$，求出b，c的值，即可解答；
（3）画出函数图象，把A，B代入y=ax²，求出a的值，即可解答．

解答 解：（1）当y=2时，则2=x-1，
解得：x=3，
∴A（3，2），
∵点A关于直线x=1的对称点为B，
∴B（-1，2）．
（2）把（3，2），（-1，2）代入抛物线C₁：y=x²+bx+c得：
$\left\{\begin{array}{l}{2=9+3b+c}\\{2=1-b+c}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-1}\end{array}\right.$
∴y=x²-2x-1．
顶点坐标为（1，-2）．
（3）如图，当C₂过A点，B点时为临界，

代入A（3，2）则9a=2，
解得：a=$\frac{2}{9}$，
代入B（-1，2），则a（-1）²=2，
解得：a=2，
∴$\frac{2}{9}≤a＜2$．

点评 本题考查了二次函数的性质，解集本题的关键是求出二次函数的解析式，并结合图形解决问题．