Question

11．如图，已知AB是⊙O的直径，EA是⊙O的切线，A为切点，D是EA上一点，且∠ABD=30°，DB交⊙O于点C，连结OC并延长交EA于点P．
（1）求证：OA=$\frac{1}{2}$OP；
（2）如果⊙O的半径为$\sqrt{3}$cm，求DP的长；
（3）在（2）的条件下求图中阴影部分的面积S．

Answer 1

分析 （1）由OB=OC，利用等边对等角得到一对角相等，由∠DBA=30°得到∠BCO=30°，再由∠AOC为三角形BOC的外角，利用外角性质求出∠AOP=60°，在直角三角形AOP中，得到∠OPA=30°，利用30°所对的直角边等于斜边的一半得到OA为OP的一半，得证；
（2）∠DCP=∠DPC=30°得到CD=PD，求出$PC=\sqrt{3}$，如图1，过D作DF⊥PC于F，得到PF=$\frac{1}{2}PC=\frac{\sqrt{3}}{2}$，问题可求PD=$\frac{PF}{cos30°}$=1；
（3）如图2，过O作OG⊥AC于G，求得等边三角形的高OG=$\frac{3}{2}$，即可求得S_阴影=S_扇形AOC-S_△AOC=$\frac{60•π{•（\sqrt{3}）}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×$\sqrt{3}$=$\frac{π}{2}$-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

解答 （1）证明：∵OB=OC，∠DBA=30°，
∴∠OCB=∠DBA=30°，
∵∠POA为△BOC的外角，
∴∠POA=∠OCB+∠DBA=60°，
又∵EA切⊙O于点A
∴∠PAO=90°，
∴∠APO=30°，
∴OA=$\frac{1}{2}$OP；

（2）∵∠DCP=∠DPC=30°，
∴CD=PD，
∵AO=CO=$\sqrt{3}$，
∴OP=2AO=2OC=2$\sqrt{3}$，
∴$PC=\sqrt{3}$，
如图1，过D作DF⊥PC于F，
∴PF=$\frac{1}{2}PC=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴PD=$\frac{PF}{cos30°}$=1；

（3）如图2，过O作OG⊥AC于G，
∴OG=$\frac{3}{2}$，
∴S_阴影=S_扇形AOC-S_△AOC=$\frac{60•π{•（\sqrt{3}）}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×$\sqrt{3}$=$\frac{π}{2}$-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了切线的性质，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，扇形面积的求法，三角形面积的求法，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．