Question

19．在计算1$+\frac{1}{2}$$+\frac{1}{4}$$+\frac{1}{8}$+…$\frac{1}{{2}^{9}}$$+\frac{1}{{2}^{10}}$时，我们可设S=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{{2}^{9}}$+$\frac{1}{{2}^{10}}$①，则2S=2+1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{{2}^{9}}$②，由②-①，得S=2-$\frac{1}{{2}^{10}}$．
（1）试用上述方法求$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{4}$$+\frac{1}{8}$+…$+\frac{1}{{2}^{n}}$的值；
（2）试用上述方法求$\frac{1}{3}$$+\frac{1}{9}$$+\frac{1}{27}$+…$+\frac{1}{{3}^{n}}$的值．

Answer 1

分析 （1）设S=$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{4}$$+\frac{1}{8}$+…$+\frac{1}{{2}^{n}}$，两边同乘2，再进一步把两式相减整理得出答案即可；
（2）设S=$\frac{1}{3}$$+\frac{1}{9}$$+\frac{1}{27}$+…$+\frac{1}{{3}^{n}}$，两边同乘3，再进一步把两式相减整理得出答案即可．

解答 解：（1）设S=$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{4}$$+\frac{1}{8}$+…$+\frac{1}{{2}^{n}}$①，
则2s=1+$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{4}$$+\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$②，
由②-①，得S=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$；
（2）设S=$\frac{1}{3}$$+\frac{1}{9}$$+\frac{1}{27}$+…$+\frac{1}{{3}^{n}}$①，
则3S=1+$\frac{1}{3}$$+\frac{1}{9}$$+\frac{1}{27}$+…+$\frac{1}{{3}^{n-1}}$②，
由②-①，得2S=1-$\frac{1}{{3}^{n}}$，
S=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2×{3}^{n}}$．

点评 本题考查了有理数的乘方，读懂题目信息，理解求和的运算方法是解题的关键．